Câu hỏi về bất đẳng thức Cauchy

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$$ \begin{aligned} 4 &= 2^x + 2^y \geq 2\sqrt{2^x.2^y} \\ \Leftrightarrow \sqrt{2^{x+y}} &\leq 2 \\ \Leftrightarrow x + y &\leq 2 \end{aligned} $$

Lại có: $xy \leq (\frac{x+y}{2})^2 \leq 1$. Khi đó:

$$ \begin{aligned} P &= (2x^2 + y)(2y^2 + x) + 9xy \\ &= 2(x^3 + y^3) + 4x^2y^2 + 10xy \\ &= 2(x + y)[(x + y)^2 - 3xy] + 4(xy)^2 + 10xy \\ &\leq 4(4 - 3xy) + 4(xy)^2 + 10xy \\ &= 16 + 2(xy)^2 + 2xy(xy - 1) \\ &\leq 18 \end{aligned} $$

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 18 khi x = y = 1.